113. Más sobre los números primos (dos), en 400 palabras (setenta y cuatro).

Más sobre los números primos

Es apasionante el universo matemático de los números primos. Son los átomos o ladrillos de los números naturales, como ya expliqué en mi entrada “58. Los números primos”.

En cierta manera es un universo no del todo accesible todavía. Hay infinitos números primos, sí, ya lo demostró Euclides en el año 300 a. C., más o menos. Pero a pesar de sus trabajos y los de Euler, Goldbach, Mersenne, Gauss, Riemann y tantísimos otros, todavía hay grandes incógnitas sobre estos números tan básicos. Por ejemplo, aún no se han demostrado las siguientes afirmaciones:

· Todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. (Conjetura de Goldbach).

· Existen infinitos pares de números primos gemelos (dos números primos son gemelos si su diferencia es 2; por ejemplo: 17 y 19).

· Existen infinitos números primos de Mersenne (un número primo de Mersenne es de la forma 2**p – 1, donde p es un número primo.

· Existen infinitos números primos de la forma n**2 + 1.

· La sucesión de Fibonacci (ver mi entrada “14. El número phi”) contiene infinitos números primos.

· Siempre existe un primo entre n**2 y (n+1)**2.

Parece que la hipótesis de Riemann, que tiene que ver con el teorema de los números primos, que aproxima el número de números primos inferior a un número dado, está a punto de demostrarse. Hay muchos teoremas demostrados que se basan en que la hipótesis de Riemann es verdadera. No sé qué pasaría si se demuestra que es falsa… La conjetura de Riemann afirma que “la parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½”. No voy a entrar a definir la función zeta de Riemann, se saldría del ámbito de estas 400 palabras, pero sí decir que con los ordenadores actuales se ha demostrado empíricamente que la parte real de los primeros billones de ceros no triviales de esa función es ½. Lo que no demuestra que la conjetura sea cierta; hay que demostrarla; se demostraría que la hipótesis es falsa si se encuentra un contraejemplo, pero aún no lo ha encontrado nadie.

Como curiosidad: a fecha de hoy, el mayor número primo conocido es el 45º número primo de Mersenne, cuyo valor es 2**43.112.609-1 y tiene nada menos que 12.978.189 dígitos. ¿Os lo imagináis? Fue descubierto en agosto de 2008 en la Universidad de California (UCLA), utilizando el programa GIMPS.

Nota: ** = elevado a

58. Los números primos (uno), en 400 palabras (treinta y cinco).

Los números primos

Un número primo (o primero) es aquél que sólo es divisible por sí mismo o por la unidad. Los números primos son los ladrillos de los números naturales en el sentido de que “todo número natural o bien es primo o puede ser representado como el producto de números primos de un modo único”. Tal es la importancia de esta afirmación que se la conoce como el teorema fundamental de la aritmética.

Existen infinitos números primos.

Ilustres y geniales matemáticos han dedicado su tiempo a estudiarlos. Algunos enunciaron teoremas cuya demostración no mostraron y que tardaron años en demostrarse. Por ejemplo, el conocido como pequeño teorema de Fermat, que dice así: si a es un número natural cualquiera y p un número primo que no divide a a, entonces p divide a a**(p-1) - 1. Este teorema fue enunciado en 1640 y demostrado finalmente por Euler en 1736. Y todavía hay enunciados que no se han demostrado, como la conjetura de Goldbarg, escrita en 1742, que establece que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos.

Los números primos han tenido una importancia fundamental en la Matemática y sus aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el sistema de cifrado actual para transmitir información segura por Internet está basado en ellos. El sistema PKS (sistema de cifrado de clave pública) ideado por Diffie y Hellman en 1975 y el diseñado por Rivest, Shamir y Adleman, conocido como el sistema RSA, son utilizados hoy día para cifrar la información de manera eficaz (rápida) y de forma tal que sea prácticamente imposible descifrarla sin conocer la clave (o posible con los potentes ordenadores actuales procesando la información durante cientos de años).

Y una curiosidad: el monje francés Mersenne, en 1644, estableció que los números de la forma 2**n – 1, para n primo (denotados como M sub n, números de Mersenne), son primos para los valores de n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, y compuestos para todos los demás valores de n menores que 257. En 1947 se descubrió que erró en algunos: los números de Mersenne para n = 67 y 257 no son primos y para n = 61, 89 y 107 sí lo son. Hoy se conocen 44 números de Mersenne que son primos. El mayor es para n = 32.582.657 y tiene ¡9.808.358 dígitos!

**: elevado a

14. El número Phi (Ф) y un juego de números

El número Ф (Phi) , también llamado número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, es ese número irracional cuyo valor es 1,61803398874989484820458683...

Se explica con cierto detalle en este vídeo:
http://youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc
capturado de un programa de la 2 de TVE. Se puso de moda no hace mucho con la novela El Código Da Vinci, de Dan Brown. Euclides, la serie de Fibonacci... y la naturaleza, el espacio, hasta los agujeros negros... No os lo perdáis, merece la pena.

Podéis ver su definición en Wikipedia (http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo) y si buscáis en Google encontraréis mucha más información. Para los que sois aficionados a los números, ya tenéis entretenimiento.

Y si aún queréis entreteneros más, utilizando a tope vuestras neuronas, haced este ejercicio que circula últimamente por la Red (autor: Rodrigo Pérez, dice la presentación). Es sencillo; haced las operaciones matemáticas que queráis, con tal de que el resultado sea el que aparece (por ejemplo: 2 + 2 + 2 = 6).

1 1 1 = 6
2 2 2 = 6
3 3 3 = 6
4 4 4 = 6
5 5 5 = 6
6 6 6 = 6
7 7 7 = 6
8 8 8 = 6
9 9 9 = 6

¿Habéis resuelto todos? Si no es así y tenéis interés (o prisa), enviadme un correo (guarismo#gmail.com) o esperad a que os llegue lo que por aquí circula.