58. Los números primos (uno), en 400 palabras (treinta y cinco).

Los números primos

Un número primo (o primero) es aquél que sólo es divisible por sí mismo o por la unidad. Los números primos son los ladrillos de los números naturales en el sentido de que “todo número natural o bien es primo o puede ser representado como el producto de números primos de un modo único”. Tal es la importancia de esta afirmación que se la conoce como el teorema fundamental de la aritmética.

Existen infinitos números primos.

Ilustres y geniales matemáticos han dedicado su tiempo a estudiarlos. Algunos enunciaron teoremas cuya demostración no mostraron y que tardaron años en demostrarse. Por ejemplo, el conocido como pequeño teorema de Fermat, que dice así: si a es un número natural cualquiera y p un número primo que no divide a a, entonces p divide a a**(p-1) - 1. Este teorema fue enunciado en 1640 y demostrado finalmente por Euler en 1736. Y todavía hay enunciados que no se han demostrado, como la conjetura de Goldbarg, escrita en 1742, que establece que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos.

Los números primos han tenido una importancia fundamental en la Matemática y sus aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el sistema de cifrado actual para transmitir información segura por Internet está basado en ellos. El sistema PKS (sistema de cifrado de clave pública) ideado por Diffie y Hellman en 1975 y el diseñado por Rivest, Shamir y Adleman, conocido como el sistema RSA, son utilizados hoy día para cifrar la información de manera eficaz (rápida) y de forma tal que sea prácticamente imposible descifrarla sin conocer la clave (o posible con los potentes ordenadores actuales procesando la información durante cientos de años).

Y una curiosidad: el monje francés Mersenne, en 1644, estableció que los números de la forma 2**n – 1, para n primo (denotados como M sub n, números de Mersenne), son primos para los valores de n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, y compuestos para todos los demás valores de n menores que 257. En 1947 se descubrió que erró en algunos: los números de Mersenne para n = 67 y 257 no son primos y para n = 61, 89 y 107 sí lo son. Hoy se conocen 44 números de Mersenne que son primos. El mayor es para n = 32.582.657 y tiene ¡9.808.358 dígitos!

**: elevado a